Комментарий к записи Ключевые задачи по теме Четырехугольники (admin)

Ключевые задачи по теме: Сумма углов треугольника Вы смотрите ключевые задачи по теме Четырехугольники наглядной геометрии к опорному конспекту по теме «Четырехугольники». Задача № 1. В параллелограмме боковая сторона равна 7, а основание 11, отношение диагоналей 7 к 6.

Найдите длины диагоналей. ОТВЕТ: 12; 14. Задача № 2. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него paвнобедренный треугольник. Доказательство. Так как АК – биссектриса ∠BAD, то ∠t = ∠2. Так как AD || ВС, то ∠1 = ∠3 как накрест лежащие. Тогда ∠2 = ∠3 и △AВК – равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Задача № 3. Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник. Доказательство. Сумма углов А и В параллелограмма равна 180°. Биссектрисы АК и ВК делят углы А и В пополам. Поэтому ∠l + ∠2 = 90°. Тогда ∠AКВ = 90° и вертикальный с ним равен 90°. Аналогично доказываем, что остальные углы полученного четырехугольника прямые. Так как соседние углы четырехугольника в сумме составляют 180°, то это – параллелограмм. Параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник. Замечание. У параллелограмма, который является ромбом, биссектрисы углов пересекаются в одной точке. Задача № 4. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу при соседней вершине. Доказательство. 1 способ. а) Опустим высоту из вершины тупого угла В параллелограмма. Так как ВК ⊥ AD и ВС || AD, то ВК ⊥ ВС. △ВМС – прямоугольный. Тогда ∠1 и ∠2 дополняют ∠3 до 90°. Значит, ∠1 = ∠2. б) Опустим высоты из вышины острого угла А параллелограмма на продолжение его сторон. Так как сумма внутренних углов четырехугольника АКСМ равна 360° и углы К и М – прямые, то ∠1 + ∠3 = 180°. Но ∠2 + ∠3 = 180° кик соседние углы параллелограмма. Отсюда ∠1 = ∠ 2. 2 способ. Доказательство следует из теоремы «Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они одновременно острые или тупые». Задача № 5. Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Задача № 6. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Доказательство. Продлим медиану СМ на её длину, т.е. МК = СМ. Четырехугольник САКВ — прямоугольник, поскольку он – параллелограмм (его диагонали АВ и СК, пересекаясь, делятся пополам) с прямым углом. ‘Гак как диагонали прямоугольника равны, то АВ = СК и СМ = 1/2 • АВ. Задача № 7. ABCD — параллелограмм, М и К – середины сторон AD и CD. Докажите, что отрезки ВМ и ВК делят диагональ АС на три равные части. Доказательство. Так как ВО = OD, то АО — медиана △АBD, ВМ – медиана △АВD. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Поэтому АЕ = 2ЕО. Так как АО = ОС, то AЕ = EF = FС. Задача № 8. Найдите длину отрезка, соединяющею середины диагоналей трапеции, основания которой равны а и b. ОТВЕТ: (a–b)/2. Задача № 9. В равнобедренной трапеции с основаниями а и b (a > b) и вершины, принадлежащей меньшему основанию, опущена высота. Найдите отрезки, на которые она разбивает большее основание. ОТВЕТ: (a–b)/2; (a+b)/2. Задача № 10. Докажите, что высоты…

Источник: uchitel.pro — uchitel.pro/%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D0%BF%D0%BE-%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5-%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C/#comment-109463