Формулы сокращенного умножения: как их выучить

Расскажем о наборе математических правил, которые помогают упростить выражения с многочленами. Формулы сокращенного умножения используются для быстрого вычисления квадратов и других степеней, например кубов суммы и разности чисел. Они лежат в основе множества более сложных математических операций и используются при решении задач на упрощение алгебраических выражений.

Рассмотрим, что собой представляют формулы сокращенного умножения, приведем примеры тех, что потребуются на уроках алгебры, и расскажем, как быть, если выучить их все же не удалось. Формулы сокращенного умножения — это набор типовых правил, которые позволяют быстрее проводить вычисления с числами и многочленами высоких степеней. На уроках алгебры и экзаменах по математике они помогут: «Речь идет в том числе о банальной скорости произведения операций. Так, к примеру, посчитать квадрат числа 499 в уме будет гораздо проще, если представить 499 как разность 500 и 1, что позволит записать возведение во 2-ю степень по формуле квадрата разности. Тогда 4992 = (500 — 1)2 = 5002 — 2*500*1 + 12 = 250000 — 1000 + 1 = 249001», — говорит Валерий Тепляков, частный преподаватель физики и математики. В школе обычно не рассматривают формулы для степеней выше 3, поэтому мы перечислим здесь те основные, которые точно пригодятся на уроках и экзаменах. Но будем помнить, что бином Ньютона, на котором основаны эти правила, позволяет проводить расчеты для любых целых положительных степеней. А значит при желании можно вывести формулу и для 4, и для более высоких порядков. Как возвести в квадрат сумму двух чисел? Можно перемножать почленно, но гораздо удобнее воспользоваться готовой формулой. (x + 3)2 = x2 + 2*x*3 + 32 = x2 + 6x + 9 Для возведения разности двух чисел или переменных во вторую степень тоже легче всего взять уже готовую формулу. (x — 5)2 = x2 — 2*x*5 + 52 = x2 — 10x + 25 Пожалуй, эта формула самая простая из всего списка, поэтому запомнить ее легче всего. И именно она часто используется в обратном порядке: в задачах не раскладывают разность квадратов на множители, а наоборот, собирают произведение суммы и разности двух чисел в разность квадратов. Формулы для третьей степени немного сложнее, чем для второй. Например, для куба суммы в тождественном выражении четыре слагаемых. (x + 4)³ = x³ + 3*x²*4 + 3x*4² + 4³ = x³ + 12x² + 48x + 64 Вычисление куба разности сравнимо с кубом суммы, только необходимо заменить знак при нечетных степенях второй переменной. (x — 4)³ = x³ — 3*x²*4 + 3x*4² — 4³ = x³ — 12x² + 48x — 64 Сумма и разность кубов раскладывается сложнее, но и эти формулы легко можно запомнить при желании. x³ + 8 = x3 + 23 = (x + 2) * (x² — 2x + 4) Самое сложное в применении формулы для разности кубов — не запутаться в расстановке знаков. Важно хорошо запомнить, что в этом случае минус стоит только в первой скобке, а во второй — только плюсы. x³ — 8 = x3 — 23 = (x — 2) * (x² + 2x + 4) Вы можете воспользоваться приведенной ниже таблицей формул для заучивания и самопроверки. Валерий Тепляков, частный преподаватель…

Источник: deti.mail.ru — deti.mail.ru/article/196638-formuly-sokrashhennogo-umnozheniya/