Математики решили задачу жонглёра, которая ждала ответа 55 лет

Можно ли расставить числа по порядку так, чтобы суммы после каждого следующего шага ни разу не повторились? Рональд Грэм задал этот вопрос в 1971 году — так появилась задача жонглёра. Теперь группа математиков доказала гипотезу для достаточно больших простых чисел.

Решение сложилось из четырёх работ, последняя из которых появилась в феврале 2026 года. Грэм был математиком и увлекался жонглированием. Его задачу можно представить как подбор порядка бросков: если каждый мяч находится в воздухе своё время, мячи не должны приземлиться одновременно. Математическая формулировка касается набора различных ненулевых чисел. Нужно переставить их так, чтобы суммы первых двух и первых трёх чисел, а также все последующие частичные суммы отличались друг от друга. Для обычных положительных чисел это очевидно: при добавлении нового числа сумма растёт. Ответ известен и для набора, в котором встречаются положительные и отрицательные числа. Грэма интересовал другой случай — арифметика по модулю простого числа. Здесь значения повторяются по кругу: при модуле 7 числа 0, 7 и 14 считаются одинаковыми, а сумма 3 и 4 превращается в ноль. Грэм предположил, что нужный порядок можно найти и при таких условиях. Сложность задачи зависит от того, сколько чисел выбрано по сравнению с размером модуля. У большого набора много частичных сумм, за которыми нужно следить. У маленького меньше возможных перестановок. Поэтому исследователи начали с разных краёв задачи, а промежуточный случай оказался самым трудным. Альп Мюйессер и Алексей Покровский занялись наборами, в которые входит почти каждое возможное ненулевое число. Они начали со случайной перестановки, предварительно отложив несколько специально выбранных чисел. Затем проверяли, нет ли последовательных участков с нулевой суммой: такой участок привёл бы к повторению частичной суммы. Если участок находился, одно из отложенных чисел можно было вставить в перестановку и устранить проблему. Результат исследователи опубликовали в 2022 году в работе, посвящённой более общей задаче. Позже Ной Кравиц независимо нашёл гипотезу Грэма в архиве нерешённых задач. Вместе с Бенджамином Бедертом он взял противоположный случай, когда чисел в наборе очень мало относительно модуля. Они доказали утверждение для таких наборов и выложили работу в сентябре 2024 года. Увидев её, Мюйессер связался с авторами и рассказал о своём результате. В августе 2025 года Мюйессер, Кравиц и их коллеги представили ещё одну работу, расширившую результат для сравнительно больших наборов. Между двумя доказанными областями оставался промежуток. Например, существовавшие методы не охватывали наборы, в которых чисел примерно вдвое меньше значения модуля. По словам Мюйессера, было понятно, почему применённые подходы там не сработают. Лиза Зауэрманн и Хюи Туан Фам услышали на конференции в Германии в сентябре 2025 года два доклада о попытках закрыть этот пробел. Математики были знакомы с 2015 года, но к тому времени работали на разных континентах. После конференции Фам ненадолго приехал к Зауэрманн в Бонн. За три дня совместной работы они наметили подход к оставшемуся случаю. Зауэрманн и Фам тоже начали со случайного порядка чисел. Когда в нём находился участок с нулевой суммой, они меняли последнее число этого участка местами с другим. Но исправление могло сорваться в трёх ситуациях: проблемный участок оказывался в конце перестановки, таких участков было слишком много рядом либо перестановка создавала новый участок с нулевой суммой. Чтобы оценить…

Источник: itzine.ru — itzine.ru/news/tech/matematiki-reshili-zadachu-zhonglera-55-let.html